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Análisis Matemático 66
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GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4.
Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.
b) $b_{n}=\frac{n^{2}-5 n+7}{n+3}-\frac{n^{2}+5}{n+1}$
b) $b_{n}=\frac{n^{2}-5 n+7}{n+3}-\frac{n^{2}+5}{n+1}$
Respuesta
Ahora queremos calcular este límite:
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$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}-5 n+7}{n+3}-\frac{n^{2}+5}{n+1}$
Si seguimos los mismos pasos que en el item anterior, te vas a dar cuenta que nuevamente cada cociente tiende a $+\infty$ ...pero entonces ahora nos estaría quedando un "infinito menos infinito" 😱 Eso es una indeterminación y tenemos que hacer algo para salvarla, no podemos saber a priori cuánto nos va a dar ese límite.
Algo que muchas veces es útil cuando nos enfrentamos a estas indeterminaciones es tratar de reescribirla, para llevarla a otra indeterminación que sepamos salvar (por ejemplo, una infinito sobre infinito) ¿Se te ocurre cómo podemos reescribir esta expresión? Y, podemos por ejemplo hacer explícitamente esa resta de fracciones y llevarla a una única fracción, así:
$\lim_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{(n^2 - 5n + 7)(n + 1) - (n^2 + 5)(n + 3)}{(n + 3)(n + 1)}\right).$
Reacomodamos un poco la situación, hacemos despacito las distributivas arriba y abajo...
$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^3 + n^2 - 5n^2 - 5n + 7n + 7 - n^3 - 3n^2 - 5n - 15}{n^2 + 4n + 3} $
$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{-7n^2 -3n - 8}{n^2 + 4n + 3}$
Perfecto! Y ahora esto se convirtió en una indeterminación "infinito sobre infinito", con un cociente de polinomios, igualito a los que estuvimos resolviendo en el Ejercicio anterior... ¿Qué hacemos? Y dale, sacamos factor común el que manda...
$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2(-7 - \frac{3}{n} - \frac{8}{n^2})}{n^2(1 + \frac{4}{n} + \frac{3}{n^2})}$
Simplificamos y tomamos límite...
$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{-7 - \frac{3}{n} - \frac{8}{n^2}}{1 + \frac{4}{n} + \frac{3}{n^2}} = -7$
Moraleja de este ejercicio: Para salvar las indeterminaciones "infinito menos infinito" no hay un único camino. Ahora vamos a ver un montón de problemas donde estas indeterminaciones las vamos a salvar "multiplicando y dividiendo por el conjugado", pero en otros escenarios usaremos otras herramientas, como acá 😃
ExaComunidad
Juan
4 de mayo 19:54
Hola Flor, puede ser que la suma del polinomio de grado uno esté mal? porque no me dan los números jajaja. Si - 5n + 7n - 5n = -3n?
2 respuestas
Benjamin
18 de abril 20:07
Buenas, tengo una duda, no entiendo de donde sale el (n+1) y el (n+3) cuando reescribimos toda la resta de polinomios, osea cuando esta todo entre parentesis, tipo no entiendo por que y para que se ponen los divisores de cada fraccion arriba.
1 respuesta
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